SOAL MATEMATIKA Selesaikanlah dengan metode Gauss-Jordan.

1. SOAL MATEMATIKA Selesaikanlah dengan metode Gauss-Jordan.

Bentuk diatas sama saja dengan :

[tex]\left(\begin{array}{cccc}1&50&50&30&|65,647\\0&2400&0&0&|1292,8\\0&0&9600&-2400&|5301,1\\0&0&0&2400&|-277,44\end{array}\right)[/tex]

Triknya sih, utamakan yang baris kedua dan keempat supaya elemen barisnya hanya 0 dan 1 saja.

Tahap 1 :

Bagi baris kedua dengan 2.400 dan keempat juga, atau ditulis [tex]\frac{1}{2400}b_2\to\,b_2[/tex] dan [tex]\frac{1}{2400}b_4\to\,b_4[/tex], sehingga diperoleh :


[tex]\left(\begin{array}{cccc}1&50&50&30&|65,647\\0&1&0&0&|0,5387\\0&0&9600&-2400&|5301,1\\0&0&0&1&|-0,1156\end{array}\right)[/tex]

Tahap 2 :

Kurangi baris pertama dengan 50 kali baris kedua agar didapat baris pertama yang baru ditulis [tex]b_1-50b_2\to\,b_1[/tex], sehingga :

[tex]\left(\begin{array}{cccc}1&0&50&30&|38,712\\0&1&0&0&|0,5387\\0&0&9600&-2400&|5301,1\\0&0&0&1&|-0,1156\end{array}\right)[/tex]

Tahap 3 :

Kurangi lagi baris pertama dengan 30 kali baris keempat agar didapatkan baris pertama yang baru ditulis [tex]b_1-30b_4\to\,b_1[/tex] dan bagi baris ketiga dengan 2400 ditulis [tex]\frac{1}{2400}b_3[/tex], sehingga :

[tex]\left(\begin{array}{cccc}1&0&50&0&|69,115\\0&1&0&0&|0,5387\\0&0&4&-1&|2,2088\\0&0&0&1&|-0,1156\end{array}\right)[/tex]

Tahap 4 :

Jumlahkan baris ketiga dengan keempat sehingga diperoleh baris ketiga yang baru ditulis [tex]b_3+b_4\to\,b_3[/tex], sehingga :

[tex]\left(\begin{array}{cccc}1&0&50&0&|69,115\\0&1&0&0&|0,5387\\0&0&4&0&|2,0932\\0&0&0&1&|-0,1156\end{array}\right)[/tex]

Tahap 5 :

Sentuhan akhir, bagilah baris ketiga dengan 4 ditulis [tex]\frac{1}{4}b_3[/tex] dan kurangi baris pertama dengan 50 kali ketiga ditulis [tex]b_1-50b_3\to\,b_1[/tex], sehingga :

[tex]\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0&|42,95\\0&1&0&0&|0,5387\\0&0&1&0&|0,5233\\0&0&0&1&|-0,1156\end{array}\right)[/tex]

Semoga membantu.

2. Apa perbedaan metode gauss dan gauss jordan?

Metode Gauss-Jordan : menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi 

(reduced row echelon form)

Eliminasi Gauss : hanya menghasilkan matriks sampai pada bentuk baris eselon

(row echelon form).

3. 2. Apa yang anda ketahui tentang Metode Gauss Jordan. Buat persamaan linear dan cara penyelesaiannya dengan Metode Gauss Jordan.​

Metode Gauss Jordan adalah salah satu metode penyelesaian sistem persamaan linear. Metode ini bertujuan untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear dengan mengubah sistem persamaan tersebut menjadi bentuk matriks augmented (matriks gabungan dari matriks koefisien dan vektor konstanta). Kemudian, metode ini melakukan operasi-operasi eliminasi baris pada matriks augmented tersebut untuk mengubahnya menjadi bentuk matriks yang lebih sederhana.

Berikut adalah contoh sistem persamaan linear dan cara penyelesaiannya dengan Metode Gauss Jordan:

Contoh:

Sistem persamaan linear:

2x + 3y - z = 1

4x + 9y - 2z = 7

-x + y + z = -1

Cara penyelesaiannya dengan Metode Gauss Jordan:

Buat matriks augmented dari sistem persamaan di atas:

[2 3 -1 1]

[4 9 -2 7]

[-1 1 1 -1]

Lakukan operasi-operasi eliminasi baris untuk mengubah matriks augmented menjadi bentuk yang lebih sederhana:

[1 3/2 -1/2 1/2]

[0 1/2 -5/2 -1/2]

[0 0 0 0]

Dari hasil di atas, dapat dilihat bahwa baris ketiga memiliki elemen-elemen yang semuanya nol. Ini berarti bahwa sistem persamaan di atas memiliki infiniti solusi.

Solusi dari sistem persamaan di atas adalah:

x = t - 1/2

y = -t + 1/2

z = t

dimana t adalah suatu bilangan real yang merupakan parameter.

Contoh lain:

Sistem persamaan linear:

2x - 3y + z = 1

-x + y - z = 3

x - y + 2z = -1

Cara penyelesaiannya dengan Metode Gauss Jordan:

Buat matriks augmented dari sistem persamaan di atas:

[2 -3 1 1]

[-1 1 -1 3]

[1 -1 2 -1]

Lakukan operasi-operasi eliminasi baris untuk mengubah matriks augmented menjadi bentuk yang lebih sederhana:

[1 -3/2 1/2 1/2]

[0 -1/2 -3/2 7/2]

[0 0 0 0]

Dari hasil di atas, dapat dilihat bahwa baris ketiga memiliki elemen-elemen yang semuanya nol. Ini berarti bahwa sistem persamaan di atas tidak memiliki solusi yang unik.

Sistem persamaan linear tersebut tidak memiliki solusi yang unik karena tidak ada baris yang dapat dijadikan sebagai baris pivot (baris yang memiliki elemen pivot yang tidak nol). Ini berarti bahwa sistem persamaan tersebut tidak memiliki solusi yang unik, atau dapat dikatakan memiliki infinity solusi.

4. bang tolong bang soal gauss jordan​

Untuk menyelesaikan dengan cara eliminasi Gauss Jordan, hendaknya kita reduksi dahulu SPL tersebut ke bentuk matriks.

[tex]\left(\begin{array}{cc}1&-2\\3&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{x}_{1}\\{x}_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5\\1\end{array}\right)[/tex]

Bentuk matriks ekselon barisnya

[tex]\left(\begin{array}{cc}1&-2&|5\\3&1&|1\end{array}\right)[/tex]

Karena yang ditanyakan hanya nilai x saja, maka kita cukup mereduksi baris pertama saja.

[tex]\left(\begin{array}{cc}1&-2&|5&{b}_{1}+2{b}_{2}\to{b}_{1}\\3&1&|1\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{cc}7&0&|7&\frac{1}{7}{b}_{1}\to{b}_{1}\\3&1&|1\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{cc}1&0&|1\\3&1&|1\end{array}\right)[/tex]

Karena elemen matriks baris pertama berbentuk (1 0), maka didapatlah nilai x = 1.

Semoga membantu.

5. jelaskan menurut pendapatmu perbedaan antara metode operasi dasar baris dengan eliminasi gauss jordan dalam penyelesaian masalah sistem persamaan linear!

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

1. Baris 1 kolom 1 harus memuat 1

2. Jika ada matriks yang memuat seluruhnya 0 maka dikelompokkan pada baris bawah matriks

3. Ada 2 baris yang tidak memuat seluruhnya 0, leading 1 pada baris bawah lebih jauh ke kanan dari pada baris leading 1 diatasnya

4. Kolom pada leading 1 harus memuat 0

Intinya kalau gauss jordan itu harus membentuk matriks identitas dan diagonalnya 1

6. Tentukan solusi dari sistem persamaan linear 2x+5y = 16 dan 3x + y = 11 menggunakan metode eliminasi Gauss-jordan.

Jawab:

(x,y) = (3,2)

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pembahasan :

2x+5y = 16

3x + y = 11

metode eliminasi GAUSS jordan:

matriks yang diperbesar

[2 5 16 ]

[3 1 11 ]

R2-R1 -> R1 [ 1 -4 -5]

3R1-R2 ->R2[ 0 -13 -26]

[ 1 -4 -5]

1/-13 R2 -> R2[ 0 1 2]

4R2+R1 [1 0 3]

[0 1 2]

HP : x = 3

y = 2

7. 2x-3y-4z = 5x+2y-2z = 63x-y+3z = 2menggunakan metode gauss jordan

Jawaban:

1007

5900

Penjelasan dengan langkah-langkah:

semoga membantu

8. Minta tolong dong bantuin ngerjain eleminasi gauss jordan 5x1 - 2x2 + 6x3 =0 -2x1 + x2 + 3x3 =1 Mohon bantuannya ya soalnya besok mau dikumpulin‍♀️

Jawaban:

5x1=5-2=3x2=6x3=18

-2x1=-2+X2=4+3=12x3=16

Penjelasan dengan langkah-langkah:

maaf klau salah

9. menurut anda apa kekurangan dan kelebihan metode eliminasi gauss dan eliminasi gauss jordan? jelaskan pendapat anda.​

Jawab:

Metode eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan adalah dua teknik penting dalam aljabar linier yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Berikut adalah kekurangan dan kelebihan masing-masing metode:

**Metode Eliminasi Gauss:**

**Kelebihan:**

1. **Sederhana:** Metode ini relatif sederhana dan mudah untuk diterapkan.

2. **Efisien untuk Sistem Besar:** Cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan linear besar dengan banyak variabel.

3. **Dapat diimplementasikan dengan Komputer:** Banyak perangkat lunak komputer yang mendukung implementasi metode ini.

**Kekurangan:**

1. **Tidak Selalu Stabil:** Metode ini dapat menjadi tidak stabil jika ada pembagian oleh angka yang mendekati nol, yang dapat menghasilkan kesalahan pembulatan yang signifikan.

2. **Memerlukan Banyak Operasi:** Untuk sistem yang besar, metode ini dapat memerlukan banyak operasi aritmatika, yang memakan waktu.

**Metode Eliminasi Gauss-Jordan:**

**Kelebihan:**

1. **Solusi Unik:** Metode ini menghasilkan solusi unik dalam bentuk bentuk dasar yang lebih sederhana.

2. **Matriks Identitas:** Menghasilkan matriks identitas sebagai bagian dari prosesnya, yang dapat berguna dalam analisis dan invers matriks.

3. **Digunakan dalam Pemrograman Linier:** Berguna dalam pemrograman linier dan permasalahan optimasi lainnya.

**Kekurangan:**

1. **Lebih Kompleks:** Lebih kompleks dibandingkan dengan metode Gauss biasa dan memerlukan lebih banyak langkah.

2. **Memerlukan Banyak Operasi:** Seperti metode Gauss, juga dapat memerlukan banyak operasi aritmatika untuk sistem besar.

.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

baik metode eliminasi Gauss maupun eliminasi Gauss-Jordan memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Pemilihan metode tergantung pada kebutuhan dan karakteristik sistem yang akan diselesaikan. Metode Gauss-Jordan cenderung memberikan solusi yang lebih terstruktur, sedangkan metode Gauss lebih sederhana dan lebih efisien untuk sistem besar.

10. ( 50 Poin ) Minta tolong dikerjakan, soal Ajabar Linier. Menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan

Jawaban:

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan, kita akan mengubah matriks augmented sistem persamaan ini menjadi bentuk eselon dan kemudian menjadi bentuk reduksi baris. Berikut langkah-langkahnya:

Langkah 1: Matriks Awal

```

[ 3 2 -1 | -15 ]

[ 5 3 2 | 0 ]

[ 3 1 3 | 11 ]

```

Langkah 2: Membuat 0 di bawah elemen pertama pada kolom pertama.

Kita ingin membuat elemen (2,1) dan (3,1) menjadi 0.

Untuk itu, kita akan mengalikan baris pertama dengan 5 dan baris kedua dengan -3, lalu menjumlahkannya ke baris kedua.

```

[ 3 2 -1 | -15 ]

[ 0 -3 7 | 45 ]

[ 3 1 3 | 11 ]

```

Langkah 3: Membuat 0 di bawah elemen kedua pada kolom kedua.

Kita ingin membuat elemen (3,2) menjadi 0.

Untuk itu, kita akan mengalikan baris kedua dengan 1 dan baris ketiga dengan 3, lalu menjumlahkannya ke baris ketiga.

```

[ 3 2 -1 | -15 ]

[ 0 -3 7 | 45 ]

[ 0 -5 12 | 48 ]

```

Langkah 4: Mengalikan baris kedua dengan -1/3 untuk mendapatkan angka 1 di bawah elemen kedua pada kolom kedua.

```

[ 3 2 -1 | -15 ]

[ 0 1 -7/3 | -15 ]

[ 0 -5 12 | 48 ]

```

Langkah 5: Membuat 0 di atas elemen kedua pada kolom kedua.

Kita ingin membuat elemen (1,2) menjadi 0.

Untuk itu, kita akan mengalikan baris kedua dengan -2 dan menjumlahkannya ke baris pertama.

```

[ 3 0 1/3 | -45 ]

[ 0 1 -7/3 | -15 ]

[ 0 -5 12 | 48 ]

```

Langkah 6: Membuat 0 di atas dan di bawah elemen kedua pada kolom ketiga.

Kita ingin membuat elemen (1,3) dan (3,3) menjadi 0.

Untuk itu, kita akan mengalikan baris kedua dengan 1/3 dan baris ketiga dengan -1/12, lalu menjumlahkannya ke baris pertama dan baris ketiga.

```

[ 3 0 0 | -45 ]

[ 0 1 -7/3 | -15 ]

[ 0 0 5 | 5 ]

```

Langkah 7: Mengalikan baris ketiga dengan 1/5 untuk mendapatkan angka 1 di elemen (3,3).

```

[ 3 0 0 | -45 ]

[ 0 1 -7/3 | -15 ]

[ 0 0 1 | 1 ]

```

Langkah 8: Menggunakan angka 1 di elemen (3,3) untuk membuat 0 di atasnya.

Kita akan mengalikan baris ketiga dengan 7/3 dan menjumlahkannya ke baris kedua.

```

[ 3 0 0 | -45 ]

[ 0 1 0 | 0 ]

[ 0 0 1 | 1 ]

```

Langkah 9: Menggunakan angka 1 di elemen (3,3) untuk membuat 0 di bawahnya.

Kita akan mengalikan baris ketiga dengan -2 dan menjumlahkannya ke baris pertama.

```

[ 3 0 0 | 0 ]

[ 0 1 0 | 0 ]

[ 0 0 1 | 1 ]

```

Langkah 10: Menggunakan angka 1 di elemen (3,3) untuk membuat 0 di atasnya.

Kita akan mengalikan baris ketiga dengan 2/3 dan menjumlahkannya ke baris pertama.

```

[ 3 0 0 | 0 ]

[ 0 1 0 | 0 ]

[ 0 0 1 | 0 ]

```

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear ini adalah:

x1 = 0

x2 = 0

x3 = 0

11. Hitunglah penyelesaian sistem persamaan linear dalam metode aljabar martiks dengan metode gauss jordan dan aturan cramer 5X1 - 4X2 = -8 3X1 + 5X2 = 47

Jawaban:

Maaf saya tidak mengetahui nnya maaf, nanti saya jawaban maaf

12. Tolong selesaikan dengan SPL eleminasi gauss jordan .

Langsung Ditulis Disini aja ya kak

13. x1 + x2 + 2x3 = − 8 -3x1 + 2x2 − 3x3 = 4 2x1−4x2+x3= 5 Selesai persamaan linier simultan berikut ini dengan metode eliminasi Gauss-Jordan? Tolong dibantu ya Deadline besok pagi Makasih

Persamaan linier :

[tex]x_{1} \: + \: x_{2} \: + \: 2x_{3} = - 8[/tex]

[tex] - 3x_{1} \: + \: 2x_{2} \: - \: 3x_{3} = 4[/tex]

[tex]2x_{1} \: - \: 4x_{2} \: + \: x_{3} = 5[/tex]

Penyajian dalam bentuk matriks :

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\ - 3&2& - 3\\2& - 4&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc} - 8\\4\\5\end{array} \right][/tex]

Metode eliminasi Gauss-Jordan :

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\ - 3&2& - 3\\2& - 4&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc} - 8\\4\\5\end{array} \right] \: ^{(R_{2} \: = \: R_{2} \: + \: 3R_{1})}_{(R_{3} \: = \: R_{3} \: - \: 2R_{1})} \: > > \: \left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&5&3\\0& -6& - 3\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc} - 8\\ - 20\\21\end{array} \right] [/tex]

[tex]^{(R_{2} \: = \: \frac{1}{5} R_{2} )}_{(R_{3} \: = \: - \frac{1}{3} R_{3})} \: > > \: \left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&1& \frac{3}{5} \\0&2&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc} - 8\\ - 4\\ - 7\end{array} \right] [/tex]

[tex]^{(R_{1} \: = \: R_{1} \: - \: R_{2})}_{(R_{3} \: = \: R_{3} \: - \: 2R_{2})} \: > > \: \left[\begin{array}{ccc}1&0& \frac{7}{5} \\0&1& \frac{3}{5} \\0&0& - \frac{1}{5} \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc} - 4\\ - 4\\1\end{array} \right] [/tex]

[tex](R_{3} \: = \: - 5R_{3}) \: > > \: \left[\begin{array}{ccc}1&0& \frac{7}{5} \\0&1& \frac{3}{5} \\0&0&1 \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc} - 4\\ - 4\\ - 5\end{array} \right] [/tex]

[tex]^{(R_{1} \: = \: R_{1} \: - \: \frac{7}{5} R_{3})}_{(R_{2} \: = \: R_{2} \: - \: \frac{3}{5}R_{3})} \: > > \: \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}3\\ - 1\\ - 5\end{array} \right] [/tex]

Sehingga, didapatkan solusi :

[tex] \boxed{ \boxed{x_{1} = 3}} \: \: \: \: \: \boxed{ \boxed{x_{2} = - 1}} \: \: \: \: \: \boxed{ \boxed{x_{3} = - 5}}[/tex]

14. apakah prinsip eliminasi gauss jordan sama atau tidak dengan matriks invers

tidak,, karena inverst itu bukan eliminasi, invers itu pembalikan,
[tex] {a}^{ - 1} [/tex]

15. x1+ 2x2 + 3x3 = 4x1 + 4x2 + 3x3 =2x1 + 3x2 + 2x3 = 2 pake cara eliminasi Gauss Jordan gimana yaa?tolong bantuan nya master master​

#Sistem Persamaan Linier :

x[tex]_1[/tex] + 2x[tex]_2[/tex] + 3x[tex]_3[/tex] = 4

x[tex]_1[/tex] + 4x[tex]_2[/tex] + 3x[tex]_3[/tex] = 2

x[tex]_1[/tex] + 3x[tex]_2[/tex] + 2x[tex]_3[/tex] = 2

Penyajian #SPLTV dalam bentuk matriks ter-#augmentasi :

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\1&4&3\\1&3&2\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}4\\2\\2\end{array}\right][/tex]

#Penyelesaian SPLTV dengan metode #eliminasi Gauss-Jordan :

[tex]\begin{array}{ccc}~\\b_2-b_1\to\\b_3-b_1\to\end{array}\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&0\\0&1&-1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}4\\-2\\-2\end{array}\right][/tex]

[tex]\begin{array}{ccc}~\\b_2 \times \frac{1}{2}\to\\~\end{array}\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&0\\0&1&-1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}4\\-1\\-2\end{array}\right][/tex]

[tex]\begin{array}{ccc}b_1-2b_2\to\\~\\b_3-b_2\to\end{array}\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}6\\-1\\-1\end{array}\right][/tex]

[tex]\begin{array}{ccc}~\\~\\b_3 \times (-1)\to\end{array}\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}6\\-1\\1\end{array}\right][/tex]

[tex]\begin{array}{ccc}b_1-3b_3\to\\~\\~\end{array}\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}3\\-1\\1\end{array}\right][/tex]

Jadi : [tex]\boxed{\boxed{\green{x_1=3}}}[/tex] , [tex]\boxed{\boxed{\pink{x_2=-1}}}[/tex] , dan [tex]\boxed{\boxed{\purple{x_3=1}}}[/tex]

16. Apa perbedaan eliminasi gauss dan gauss jordan? Buktikan dengan soal sebagai berikut x+y+z = 5 2x+3y+5z = 8 4x + 5z = 2

Penjelasan mengenai Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan dapat disimak di pembahasan berikut

.

PEMBAHASAN

Eliminasi Gauss adalah suatu penyelesaian dengan menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variabel yang bebas.

.

Sistem persamaannya

[tex]\left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\0&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\0&0&a_{33}&...&a_{3n}\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&a_{nn}\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}x_1\\x_2\\x_3\\...\\x_n\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccccc}b_1\\b_2\\b_3\\...\\b_n\end{array}\right]\\[/tex]

.

Ciri eliminasi Gauss

Baris kolom pertama (a11) tidak nol dimana nilainya 1Baris yang semua elemennya nol dikelompokkan di baris akhir dari matriks.Jika nilai baris kolom 1 dan nilai sebelah kanannya nol semua, dan dibawah baris ke-1 ,0 dimana sebelah kanannya 1 dan sebelah kananya juga nol, dan berlaku untuk baris seterusnya disebut Eselon-baris tereduksi

.

Tahapan eleminasi gauss

Mengubah persamaan menjadi matriks augmentasiEliminasi langsung,yaitu menyederhanakannya ke bentuk eselon baris.  Substitusi balik,yaitu substitusi penyelesain persamaan biasa, dimana hasil penyederhanaan persamaan dari sistem persamaan eliminasi langsung

.

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi caranya dengan  meneruskan operasi baris  dari eliminasi gauss sehingga menghasilkan matriks yg Eselon-baris.

.

Sistem persamaannya

[tex]\left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&0&0&...&0\\0&a_{22}&0&...&0\\0&0&a_{33}&...&0\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&a_{nn}\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccc}x_1\\x_2\\x_3\\...\\x_n\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccccc}b_1\\b_2\\b_3\\...\\b_n\end{array}\right][/tex]

.

Ciri eliminasi gauss jordan

Bentuknya eselon baris tereduksi

Tahapan eleminasi gauss-jordan

Mengubah persamaan menjadi matriks augmentasiMelakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks

.

DIKETAHUI

Sistem Persamaan Tiga Variabel

x+y+z = 5

2x+3y+5z = 8

4x + 5z = 2

.

DITANYA

Apa perbedaan eliminasi gauss dan gauss jordan dan Buktikan dengan SPLTV tersebut !

.

PENYELESAIAN

Dari penjabaran diatas dapat disimpulkan terdapat perbedaan yang mendasar dimana metode penyelesaian persamaan dengan eliminasi Gauss mempunyai bentuk eselon baris dan eliminasi Gauss-Jordan mempunyai bentuk eselon baris tereduksi dan dari dua penyelesaian itu memiliki himpunan penyelesaian yang sama.

.

Eliminasi Gauss

Ubah persamaan kedalam matriks augmentasi

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&3&5\\4&0&5\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\2\\-2\end{array}\right][/tex]

.

Ubah menjadi eselon baris

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&3&5\\4&0&5\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\2\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}\\-2B_1+B_2\\-4B_1+B_3\end{array}\right[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&-4&1\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-18\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}\\\\4B_2+B_3\\\end{array}\right[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&0&13\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-26\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}\\\\\frac{1}{13}B_3\\\end{array}[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-2\end{array}\right][/tex]

.

Didapat persamaan baru

x+y+z=5

 y+3z = -2

       z = -2

.

Didapat nilai z =0, kemudian lakukan subsitusi balik

y+3z=-2 ⇒ y+3(-2)=-2 ⇒ y=4

x+y+z=5  ⇒ x+4+-2=1  ⇒ x=3

.

Maka himpunan penyelesaiannya

x=3, y=4, z=-2  ⇒ (x,y,z)=(3,4,-2)

.

Eliminasi Gauss-Jordan

Ubah persamaan kedalam matriks augmentasi

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&3&5\\4&0&5\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\8\\2\end{array}\right][/tex]

.

Buat Matriks menjadi matriks eselon baris tereduksi

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&3&5\\4&0&5\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\8\\2\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}\\-2B_1+B_2\\-4B_1+B_3\end{array}\right[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&-4&1\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-18\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}-B_2+B_1\\\\4B_2+B_3\\\end{array}\right[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0&-2\\0&1&3\\0&0&13\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}7\\-2\\-26\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}\\\\\frac{1}{13}B_3\\\end{array}[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0&-2\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}7\\-2\\-2\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}2B_3+B_1\\-3B_3+B_2\\\\\end{array}[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right\left|\begin{array}{ccc}3\\4\\-2\end{array}\right][/tex]

.

Didapat himpunan penyelesaiannya

x=3, y=4, z=-2  ⇒ (x,y,z)=(3,4,-2)

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

Eliminasi Gauss-Jordan : brainly.co.id/tugas/30176806

.

DETAIL JAWABAN

Kelas: xxx

Mapel: Matematika

Bab: Sistem Persamaan Linear

Kode: xxx

Kata Kunci: Eliminasi Gauss, dio.Eliminasi_Gauss

.

#Learningwithdiorama

#TingkatkanPrestasimu

Metode eliminasi Gauss dan metode eliminasi Gauss-Jordan adalah beberapa cara untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan linier. Metode Gauss-Jordan adalah pengembangan lebih lanjut dari metode eliminasi Gauss yang terlebih dahulu ada.

Karena metode eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan lebih lanjut dari metode elimimasi Gauss, maka jelas banyak kesamaan pada kedua metode tersebut. Idenya adalah dengan melakukan rekayasa aljabar pada sebuah matriks yang ter-augmentasi dari suatu sistem persamaan linier.

Perbedaan mendasar dari kedua metode tersebut adalah pada penyelesaian akhirnya. Jika pada metode eliminasi Gauss, hasil akhirnya adalah sebuah matriks segitiga atas (dengan diagonal utama = “1”), dan pada metode eliminasi Gauss-Jordan, hasil akhirnya adalah sebuah matriks identitas.

Pembahasan Contoh :

x + y + z = 5

2x + 3y + 5z = 8

4x + 5z = 2

Penyajian SPL pada sebuah matriks ter-augmentasi adalah :

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&3&5\\4&0&5\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}5\\8\\2\end{array}\right]

[/tex]

Operasi baris elementer pada metode eliminasi Gauss :

[tex]^{B_2\:=\:B_2\:-\:2B_1}_{B_3\:=\:B_3\:-\:4B_1}\:\:\:\:\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&-4&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-18\end{array}\right][/tex]

[tex]B_3\:=\:B_3\:+\:4B_2\:\:\:\:\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&0&13\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-26\end{array}\right][/tex]

[tex]B_3\:=\:\frac{1}{13}B_3\:\:\:\:\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}5\\-2\\-2\end{array}\right][/tex]

Pada metode eliminasi Gauss, operasi baris elementer berhenti sampai di sini. Kenapa ? Karena sudah menghasilkan matriks segitiga atas.

Penyelesaian selanjutnya ?? Yaitu dengan melanjutkannya menggunakan metode substitusi biasa.

Dari matriks tersebut didapatkan :

z = –2

y + 3z = –2

y + 3.(–2) = –2

y - 6 = –2

y = –2 + 6

y = 4

x + y + z = 5

x + 4 + (–2) = 5

x + 2 = 5

x = 5 - 2

x = 3

Operasi baris elementer pada metode eliminasi Gauss-Jordan :

« melanjutkan dari matriks sebelumnya pada metode eliminasi Gauss »

[tex]B_1\:=\:B_1\:-\:B_2\:\:\:\:\left[\begin{array}{ccc}1&0&-2\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}7\\-2\\-2\end{array}\right][/tex]

[tex]^{B_1\:=\:B_1\:+\:2B_3}_{B_2\:=\:B_2\:-3B_3}\:\:\:\:\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}3\\4\\-2\end{array}\right][/tex]

Diperoleh hasil :

x = 3 ; y = 4 ; z = –2

17. Berikanlah contoh penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan operasi baris elementer (OBE) dengan metode eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss- Jordan​

Berikut adalah contoh penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan metode eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan menggunakan operasi baris elementer (OBE).

**Contoh SPL:**

Misalkan kita memiliki sistem persamaan linear berikut:

```

2x + 3y - z = 1

4x + 7y + z = 3

3x + 5y + 2z = 2

```

**Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss:**

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. **Langkah 1 - Pivoting (Mencari Pivots):**

  Kita mulai dengan matriks augmented (matriks koefisien + matriks hasil) dari SPL.

  ```

  [ 2  3 -1 |  1 ]

  [ 4  7  1 |  3 ]

  [ 3  5  2 |  2 ]

  ```

2. **Langkah 2 - Eliminasi:**

  - Kurangkan dua kali baris pertama dari baris kedua.

  - Kurangkan 1,5 kali baris pertama dari baris ketiga.

  ```

  [ 2  3 -1 |  1 ]

  [ 0  1  3 |  1 ]

  [ 0  0  0 | -0.5 ]

  ```

3. **Langkah 3 - Penyelesaian:**

  Dari matriks yang sudah tereduksi, kita dapat menemukan solusi.

  ```

  x = 2

  y = -2

  z = 0

  ```

**Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss-Jordan:**

Langkah-langkahnya mirip dengan Eliminasi Gauss, tetapi kita ingin membawa matriks ke bentuk identitas.

1. **Langkah 1 - Pivoting (Mencari Pivots):**

  Sama seperti langkah pertama pada Eliminasi Gauss.

2. **Langkah 2 - Eliminasi:**

  Sama seperti langkah kedua pada Eliminasi Gauss, tetapi kita harus memastikan semua elemen di bawah pivot adalah nol.

3. **Langkah 3 - Reduksi ke Bentuk Identitas:**

  Setelah eliminasi selesai, matriks akan terlihat seperti ini:

  ```

  [ 1  0  0 |  2 ]

  [ 0  1  0 | -2 ]

  [ 0  0  1 |  0 ]

  ```

4. **Langkah 4 - Penyelesaian:**

  Dari matriks ini, kita dapat menemukan solusi.

  ```

  x = 2

  y = -2

  z = 0

  ```

Ini adalah contoh penyelesaian SPL dengan metode eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan menggunakan operasi baris elementer (OBE).

18. X1 + 2X3 + 3X3=1 2X1 + 5X2 + 3X1 =1 X1+8X3=1 Dit:-metode eliminasi gauss jordan -metode substitusi mundur -metode invers.

Jawaban:

maaf ka aku DATAU sorry muda mudahan ada yang jawab kan

19. minta contoh soal cerita spltv pake cara gauss Jordan dong

Itu jawaban dulu baru saya tuliskan soalnya.

Bisa dilihat dalam foto.

20. Tentukan invers matriks dengan menggunakan metode kopaktor dan eliminasi gauss jordan​

Penjelasan dengan langkah-langkah:

jadikan jawaban tercerdas yaa

21. 2x+y=8 -5x+3y=-4 Eliminasi gauss jordan Menggunakan metode matriks

semoga bermanfaat......

22. selesaikan dengan motedo gauss jordan.

jawaban ada pada gambar

23. Selesaikan lengkap dengan caranya. Boleh pakai metode matriks, metode persamaan linear atau metode eliminasi gauss jordan

x + y = 3
y + z = 1
x + y + z = 2

x + y = 3
x = 3 - y

y + z = 1
z = 1 - y

x + y + z = 2
3 - y + y + 1 - y = 2
4 - y = 2
- y = 2 - 4
- y = - 2
y = 2

x = 3 - y
x = 3 - 2
x = 1

z = 1 - y
z = 1 - 2
z = - 1

Maaf Kalau SalahMetode persamaan linear (SUBSTITUSI)

X + Y = 3
maka Y = 3 - X

Y + Z = 1          substitusi (ganti) Y = 3 - X
3 - X + Z = 1
Z = 1 - 3 + X
Z = X - 2

X + Y + Z = 2
X + 3 - X + X - 2 = 2
X + 1 = 2
X = 1

Maka :
Y = 3 - X              Z = X - 2
Y = 3 - 1               Z = 1 - 2
Y = 2                    Z = -1

Semoga bermanfaat ya.

24. Tentukan invers matriks dengan menggunakan metode eliminasi gauss jordan​

Invers dari Matriks F adalah [tex]\begin{bmatrix}-1 &0 &-1 \\ -1 &\frac{1}{10} & -\frac{13}{10}\\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}[/tex].

PEMBAHASAN

Salah satu metode untuk mencari invers dari suatu matriks adalah dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Pada metode ini  berlaku :

[tex]\begin{bmatrix}A & | & I \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I & | & A^{-1} \end{bmatrix}[/tex]

Dengan :

A = matriks A

I = matriks identitas

[tex]A^{-1}=[/tex] invers matriks A

Untuk mengubah bentuk matriks di kiri menjadi matriks di kanan, kita lakukan operasi baris elementer (OBE).

.

DIKETAHUI

[tex]F=\begin{bmatrix}-3 & 2 & -1\\ -4 & 4 & 3\\ 2 & -2 & 1\end{bmatrix}[/tex]

.

DITANYA

Tentukan invers dari matriks F.

.

PENYELESAIAN

Kita lakukan OBE hingga matriks disebelah kiri menjadi matriks identitas.

[tex]\begin{bmatrix}-3 & 2 & -1 & | & 1 & 0 & 0\\ -4 & 4 & 3 & | & 0 & 1 & 0\\ 2 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]

.

> Baris1 ⇒ Baris1 - Baris2

[tex]\begin{bmatrix}1 & -2 & -4 & | & 1 & -1 & 0\\ -4 & 4 & 3 & | & 0 & 1 & 0\\ 2 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]

.

> Baris2 ⇒ Baris2 + 2×Baris3

[tex]\begin{bmatrix}1 & -2 & -4 & | & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 5 & | & 0 & 1 & 2\\ 2 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]

.

> Baris3 ⇒ 1/2×[2×Baris1 - Baris3]

[tex]\begin{bmatrix}1 & -2 & -4 & | & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 5 & | & 0 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -\frac{9}{2} & | & 1 & -1 & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}[/tex]

.

> Baris2 ⇒ Baris2 - Baris3

[tex]\begin{bmatrix}1 & -2 & -4 & | & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & \frac{19}{2} & | & -1 & 2 & \frac{5}{2}\\ 0 & -1 & -\frac{9}{2} & | & 1 & -1 & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}[/tex]

.

> Baris3 ⇒ 1/5×[Baris2 + Baris3]

[tex]\begin{bmatrix}1 & -2 & -4 & | & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & \frac{19}{2} & | & -1 & 2 & \frac{5}{2}\\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}[/tex]

.

> Baris2 ⇒ Baris2 - 19/2×Baris3

[tex]\begin{bmatrix}1 & -2 & -4 & | & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & \frac{1}{10} & -\frac{13}{10}\\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}[/tex]

.

> Baris 1 ⇒ Baris1 +2×Baris2

[tex]\begin{bmatrix}1 & 0 & -4 & | & -1 & -\frac{4}{5} & -\frac{13}{5}\\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & \frac{1}{10} & -\frac{13}{10}\\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}[/tex]

.

> Baris1 ⇒ Baris1 + 4×Baris3

[tex]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & | & -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & \frac{1}{10} & -\frac{13}{10}\\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}[/tex]

.

Karena matriks sebelah kiri sudah berupa matriks identitas, maka Invers dari matriks F adalah matriks sebelah kanan, yaitu :

[tex]F^{-1}=\begin{bmatrix}-1 &0 &-1 \\ -1 &\frac{1}{10} & -\frac{13}{10}\\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}[/tex]

.

.

KESIMPULAN

Invers dari Matriks F adalah [tex]\begin{bmatrix}-1 &0 &-1 \\ -1 &\frac{1}{10} & -\frac{13}{10}\\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}[/tex].

.

PELAJARI LEBIH LANJUTMencari invers matriks dengan OBE : https://brainly.co.id/tugas/41908133Mencari invers matriks dengan OBE : https://brainly.co.id/tugas/41902520Mencari determinan matriks dengan OBE : https://brainly.co.id/tugas/41900252

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 10

Mapel: Matematika

Bab : Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Kode Kategorisasi: 10.2.2

25. apakah metode eliminasi gauss jordan dapat gagal/tidak dapat di selesaikan? Jika iya, dalam kondisi seperti apa?

ya

bila nilai determinannya nol

26. contoh hitungan metode gauss dengan cara

Jawaban:

prosedur dengan operasi baris elementer

27. bantuin gan, sekalian pake caranya (Matematika teknik - sistem persamaan linear dengan metode eliminasi Gauss-Jordan)

Jawaban:

30 dan 45

Penjelasan dengan langkah-langkah:

ingat hal pertama yang adna lakukan mengurutkan data tersebut

28. apakah penyelesaian SPL dengan 3 variabel (x, y, z) dengan metode cramer, invers matriks, dan gauss jordan menghasilkan nilai yang sama?​

Ya, penyelesaian sistem persamaan linear (SPL) dengan 3 variabel (x, y, z) menggunakan metode Cramer, invers matriks, dan Gauss-Jordan akan menghasilkan nilai yang sama jika dilakukan dengan benar dan tanpa kesalahan.

Namun, metode-metode tersebut memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Metode Cramer membutuhkan perhitungan determinan, sehingga memerlukan waktu dan tenaga yang cukup besar jika jumlah variabel semakin banyak. Metode invers matriks juga memerlukan perhitungan invers matriks, yang juga memerlukan waktu dan tenaga yang cukup besar jika jumlah variabel semakin banyak.

Sedangkan metode Gauss-Jordan lebih efisien karena tidak memerlukan perhitungan invers matriks atau determinan, sehingga lebih cepat dan mudah diterapkan pada SPL dengan jumlah variabel yang banyak. Namun, metode Gauss-Jordan memerlukan keterampilan dalam melakukan operasi baris elementer pada matriks, sehingga memerlukan latihan dan pemahaman yang cukup baik.

29. Selesaikan SPL berikut dengan metode eliminasi gauss dan gauss jordanx - 3y + 4z = 124x + 2y - 5z = -13x + 5y -z = 11​

Jawab:

x = 3

y = 1

z = 3

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Persamaan 1 :

x - 3y + 4z = 12

4x + 2y - 5z = -1

ubah persamaan 1 menjadi bentuk seperti berikut lalu jumlahkan

-4x + 12y - 16z = -48

4x + 2y - 5z = -1

--------------------------  +

14y - 21z = -49

Persamaan 2 :

x - 3y + 4z = 12

3x + 5y - z = 11​

ubah persamaan 2 menjadi bentuk seperti berikut :

-3x + 9y - 12z = -36

3x + 5y - z = 11​

--------------------------  +

14y - 13z = -25

Kurangkan Persamaan 1 dan Persamaan 2

14y - 21z = -49

14y - 13z = -25

--------------------------  -

-8z = -24

z = 3

Masukkan z kedalam persamaan

14y - 13z = -25

14y - 13 (3) = -25

14y - 39 = -25

14y = 14

y = 1

Masukkan y dan z kedalam persamaan

x - 3y + 4z = 12

x - 3(1) + 4(3) = 12

x - 3 + 12 = 12

x + 9 = 12

x = 3

30. tentukan penyelesaian system persamaan di foto dengan metode reduksi gauss-jordan​

Jawab:

[tex]\displaystyle x_{1}=1\:\:\:\:x_{2} = 2\:\:\:\:x_{3}=3[/tex]

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Ubah menjadi bentuk matriks :

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}2&4&-3\\1&1&2\\3&6&-5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\9}\\0\end{array}\right)[/tex]

Dengan reduksi Gauss-Jordan matriks akan berubah berbentuk matriks identitas

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)[/tex]

Setelah diubah ke bentuk matriks kita tambah kolom matriksnya dan berubah menjadi matriks augmentasi

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}2&4&-3&1\\1&1&2&9\\3&6&-5&0\end{array}\right)[/tex]

Sekarang lakukan operasi pada elemen-elemen matriks agar bisa jadi bentuk matriks identitas

1) Tukar baris ke-1 dengan baris ke-3 menjadi :

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\1&1&2&9\\2&4&-3&1\end{array}\right)[/tex]

2) Kurangi baris ke-2 dengan [tex]\displaystyle \frac{1}{3}\times[/tex] baris ke-1 menjadi :

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\1-\displaystyle \frac{1}{3}\times3&1-\displaystyle \frac{1}{3}\times6&2-\displaystyle \frac{1}{3}\times -5&\displaystyle 9-\frac{1}{3}\times0\\2&4&-3&1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\0&-1&\displaystyle \frac{11}{3}&9\\2&4&-3&1\end{array}\right)[/tex]

3) Kalikan baris ke-2 dengan 3 menjadi :

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\0&-3&11&27\\2&4&-3&1\end{array}\right)[/tex]

4) Kurangi baris ke-3 dengan [tex]\displaystyle \frac{2}{3}\times[/tex] baris ke-1 menjadi :

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\0&-3&11&27\\0&0&\displaystyle \frac{1}{3}&1\end{array}\right)[/tex]

5) Kalikan baris ke-3 dengan 3 menjadi  :

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\0&-3&11&27\\0&0&1&3\end{array}\right)[/tex]

6) Kurangi baris ke-2 dengan [tex]11 \times 3[/tex] menjadi :

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\0&-3&0&-6\\0&0&1&3\end{array}\right)[/tex]

7) Bagi baris ke-2 dengan -3 menjadi :

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&6&-5&0\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right)[/tex]

8) Kuragi baris ke-1 dengan 6[tex]\times[/tex] baris ke-2 menjadi :

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&0&-5&-12\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right)[/tex]

9) Tambahkan baris ke-1 dengan 5[tex]\times[/tex] baris ke-3 menjadi :

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}3&0&0&3\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right)[/tex]

10) Bagi baris ke-1 dengan 3 menjadi :

[tex]\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right)[/tex]

Didapat jawabannya :

[tex]\displaystyle \left \{ {{\displaystyle x_{1}=1} \atop {\displaystyle x_{2}=2}}\atop {x_{3}=3}\right.[/tex]

31. ada yg bisa nyelesain ini pake metode gauss jordan?

langkah-langkahnya :
- angka pada diagonal harus diubah menjadi 1, sedangkan angka diatas dan dibawah diagonal harus diubah jadi 0, hasil akan mengikuti

32. Berikanlah contoh penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan operasi baris elementer (OBE) dengan metode eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan.​

Jawab:

Baik, mari kita lanjutkan dengan contoh penyelesaian SPL menggunakan metode eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan.

[tex]**Contoh SPL:**\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\2x - y + z = 3 \\-3x + 4y + z = 2 \end{cases} \][/tex]

*[tex]*1. Metode Eliminasi Gauss:**Langkah 1: Membentuk matriks augmented dari SPL:\[ \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\2 & -1 & 1 & 3 \\-3 & 4 & 1 & 2\end{array} \right] \][/tex]

Langkah 2: Operasi baris elementer untuk mengubah matriks ke bentuk eselon:

[tex]\[ \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\0 & -3 & -1 & -9 \\0 & 7 & 4 & 20\end{array} \right] \]\[ \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\0 & 1 & 1/3 & 3 \\0 & 0 & 25/3 & 41\end{array} \right] \][/tex]

Langkah 3: Dari matriks eselon di atas, kita dapat menentukan solusi SPL.

**2. Metode Eliminasi Gauss-Jordan:**

Langkah 1: Membentuk matriks augmented dari SPL:

[tex]\[ \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\2 & -1 & 1 & 3 \\-3 & 4 & 1 & 2\end{array} \right] \][/tex]

Langkah 2: Operasi baris elementer untuk mengubah matriks ke bentuk eselon tereduksi:

[tex]\[ \left[ \begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & 3 \\0 & 1 & 0 & 2 \\0 & 0 & 1 & 1\end{array} \right] \][/tex]

Langkah 3: Dari matriks eselon tereduksi di atas, kita dapat menentukan solusi SPL.

Dengan langkah-langkah ini, kita dapat menyelesaikan SPL menggunakan metode eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan. Jika Anda memiliki pertanyaan lebih lanjut atau ingin melihat tahapan detail dalam proses tersebut, jangan ragu untuk bertanya.

33. berikan contoh permasalahan sistem persamaan linear dalam kehidupan sehari-hari dan solusinya menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan (minimal 3 variabel).mohon bantuannya :)

Kelas: X
Mata pelajaran: Matematika
Materi: Persamaan Linear 
Kata Kunci: Eliminasi Gauss Jordan 

 

Pembahasan:

 

Contoh permasalahan sistem persamaan linear dalam kehidupan sehari-hari dan solusinya menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan:

                                                                

Rudi adalah penggemar buah, dan sering berbelanja buah di pasar. Pada minggu pertama dia membeli 2 kg buah apel, 3 kg buah mangga dan 3 kg buah jeruk. Uang yang harus dibayarkan oleh Rudi adalah sebesar Rp 165 ribu.

 

Minggu berikutnya, dia bereblanja buah dan membeli 3 kg buah apel, 4 kg buah mangga dan 2 kg buah jeruk. kali ini, Rudi harus membayar sebesar Rp 190 ribu.

 

Di minggu ketiga, Rudi berbelanja lagi dan membeli 3 kg buah apel, 2 kg buah mangga dan 2 kg buah jeruk. Rudi mengeluarkan Rp 160 ribu.

 

Tentukanlah harga per kg dari buah-buah apel, mangga dan jeruk tadi.

 

Jawaban:

 

Persoalan ini dapat dinyatakan dalam tiga persamaan linear yang masing-masing menggunakan 3 variabel. Bila kita misalkan harga per kilogram buah apel sebagai x, mangga sebagai y dan jeruk sebagai z maka:

 

2x + 3y + 3z = 165

3x + 4y + 2z = 190

3x + 2y + 2z = 160

 

Kemudian dijadikan sebagai matirk menjadi:

[tex]\begin{bmatrix} 2& 3& 3& 165 \\ 3& 4& 2& 190 \\ 3& 3& 3& 160 \end{bmatrix}[/tex]

 

Kemudian kita lakukan eliminasi sehingga menghasilkan penyelesaian.

 

1. buat pivot dengan membagi baris pertama dengan 2.

[tex]\begin{bmatrix} 1& \frac{3}{2}& \frac{3}{2}& \frac{165}{2}\\ 3& 4& 2& 190 \\ 3& 60& 3& 160 \end{bmatrix}[/tex]

2. Kalikan baris pertama dengan 3

[tex]\begin{bmatrix} 3& \frac{9}{2}& \frac{9}{2}& \frac{495}{2}\\ 3& 4& 2& 190 \\ 3& 60& 3& 160 \end{bmatrix}[/tex]

3. Kurangkan baris kedua dengan baris pertama

[tex]\begin{bmatrix} 3& \frac{9}{2}& \frac{9}{2}& \frac{495}{2}\\ 0& -\frac{1}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{115}{2}\\ 3& 60& 3& 160 \end{bmatrix}[/tex]

4. Kurangkan baris ketiga dengan baris pertama

[tex]\begin{bmatrix} 3& \frac{9}{2}& \frac{9}{2}& \frac{495}{2}\\ 0& -\frac{1}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{115}{2}\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{175}{2}\\ \end{bmatrix}[/tex]

5. Bagi baris pertama dengan 3

[tex]\begin{bmatrix} 1& \frac{3}{2}& \frac{3}{2}& \frac{165}{2}\\ 0& -\frac{1}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{115}{2}\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{175}{2}\\ \end{bmatrix}[/tex]

6. Buat pivot di baris kedua dengan mengalikannya dengan -2

[tex]\begin{bmatrix} 1& \frac{3}{2}& \frac{3}{2}& \frac{165}{2}\\ 0& 1& 5& 115\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{175}{2}\\ \end{bmatrix}[/tex]

7. Kalikan baris kedua dengan 3/2

[tex]\begin{bmatrix} 1& \frac{3}{2}& \frac{3}{2}& \frac{165}{2}\\ 0& \frac{3}{2}& \frac{15}{2}& \frac{345}{2}\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{175}{2}\\ \end{bmatrix}[/tex]

8. Kurangi baris pertama dengan baris kedua. Lalu balikkan baris kedua dengan membaginya dengan 3/2 

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& -6& -90\\ 0& 1& 5& 115\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{175}{2}\\ \end{bmatrix}[/tex]

9. Kalikan baris kedua dengan -5/2

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& -6& -90\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{25}{2}& -\frac{575}{2}\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{175}{2}\\ \end{bmatrix}[/tex]

10. Kurangi baris ketiga dengan baris kedua. lalu balikkan baris kedua dengan membaginya dengan -5/2.

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& -6& -90\\ 0& 1& 5& 115\\ 0& 0& 10& 200\\ \end{bmatrix}[/tex]

11. Buat pivot di baris ketiga dengan membaginya dengan 10

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& -6& -90\\ 0& 1& 5& 115\\ 0& 0& 1& 20\\ \end{bmatrix}[/tex]

12. Kalikan baris ketiga dengan -6

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& -6& -90\\ 0& 1& 5& 115\\ 0& 0& -6& -120\\ \end{bmatrix}[/tex]

13. Kurangkan baris pertama dengan baris ketiga. Lalu kembalikan baris ketiga menjadi semula dengan membaginya dengan -6

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& 0& 30\\ 0& 1& 5& 115\\ 0& 0& 1& 20\\ \end{bmatrix}[/tex]

13. Kurangkan baris kedua dengan  5 kali baris ketiga

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& 0& 30\\ 0& 1& 0& 15\\ 0& 0& 1& 20\\ \end{bmatrix}[/tex]

Jadi harga apel adalah Rp 30 ribu, mangga adalah Rp 15 ribu, dan jeruk adalah Rp 20 ribu per kilogram.

34. Selesaikan SPL berikut ini dengan menggunakan eliminasi Gauss/Gaus Jordan x1+x2+x3 = 2 x1+3x2+3x3=0 x1+3x2+6x3=3

Penjelasan dengan langkah-langkah:

ada di gambar terlampir

35. Selesaikan masing masing SPLTV dibawah ini dengan metode eliminasi gauss-jordan​

Yang mana Soal Yang Harus Di Eliminas??

36. Soal SPLTV Metode Gauss & Gauss-Jordan Tolong bantu jawab dengan caranya yang mudah dimengerti ya..

Master Brainly :Metode Gauss

4x + 3z = - 1

y - 2x = 0

x - 3y = 10

[ 4 0 3 | -1 ]

[ -2 1 0 | 0 ]

[ 1 -3 0 | 10 ]

[ 4 0 3 | -1 ]

[ -2 1 0 | 0 ]

[ 5 0 0 | 10 ]

[ 4 0 3 | -1 ]

[ -2 1 0 | 0 ]

[ 1 0 0 | -2 ]

[ 0 0 3 | 7 ]

[ 0 1 0 | -4 ]

[ 1 0 0 | -2 ]

[ 0 0 1 | 7/3 ]

[ 0 1 0 | -4 ]

[ 1 0 0 | -2 ]

z = 7/3

y = - 4

x = - 2

(x, y, z) = ( -2, -4, 7/3 )

37. Selesaikan lah metode gauss jordan​

Sistem Persamaannya adalah :

[tex]\left\{\begin{matrix}3x+y-z=2\\2x-y+z=3\\x+y+z=3\end{matrix}[/tex]

Sebelum menyelesaikan dengan metode Gauss Jordan, mula - mula kita ubah dulu bentuk sistemnya ke dalam matriks.

[tex]\left(\begin{matrix}3&1&-1\\2&-1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\\3\end{matrix}\right)[/tex]

Maka, bentuk ekselon barisnya :

[tex]\left(\left.\begin{matrix}3&1&-1\\2&-1&1\\1&1&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}2\\3\\3\end{matrix}\right)[/tex]

Sekarang berikut cara penyelesaiannya.

[tex]\left(\left.\begin{matrix}3&1&-1\\2&-1&1\\1&1&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}2\\3\\3\end{matrix}\right)\begin{matrix}-\\b_2-2b_3\to\,b_2\\-\end{matrix}=\left(\left.\begin{matrix}3&1&-1\\0&-3&-1\\1&1&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}2\\-3\\3\end{matrix}\right)\begin{matrix}-\\-\\b_1-3b_3\to\,b_3\end{matrix}\\\left(\left.\begin{matrix}3&1&-1\\0&-3&-1\\0&-2&-4\end{matrix}\right|\begin{matrix}2\\-3\\-7\end{matrix}\right)\begin{matrix}b_1-b_2\to\,b_1\\-\\2b_2-3b_3\to\,b_3\end{matrix}=\left(\left.\begin{matrix}3&4&0\\0&-3&-1\\0&0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}5\\-3\\15\end{matrix}\right)\begin{matrix}-\\10b_2+b_3\to\,b_2\\\frac{1}{10}b_3\end{matrix}\\\left(\left.\begin{matrix}3&4&0\\0&-30&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}5\\-15\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\begin{matrix}30b_1+4b_2\to\,b_1\\-\frac{1}{30}b_2\\-\end{matrix}=\left(\left.\begin{matrix}90&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}90\\\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\begin{matrix}\frac{1}{90}b_1\\-\\-\end{matrix}=\left(\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)[/tex]

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah [tex]\left\{1,\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right\}[/tex].

Semoga membantu.

38. selesaikan persamaan SPL berikut menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan​

Jawaban:

semoga membantu....maaf kalau ada yang salah

SPL :

x + 4y - 7z = –29

–2x + 4y - 5z = –30

–x + 4y + 8z = 25

Matriks ter-augmentasi :

[tex][\begin{array}{ccc}1&4&-7\\-2&4&-5\\-1&4&8\end{array}||\begin{array}{ccc}-29\\-30\\25\end{array}][/tex]

Operasi Baris Elementer :

[tex]^{\text{B}_2\:=\:\text{B}_2\:+\:2\text{B}_1}_{\text{B}_3\:=\:\text{B}_3\:+\:\text{B}_1}\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&4&-7\\0&12&-19\\0&8&1\end{array}||\begin{array}{ccc}-29\\-88\\-4\end{array}][/tex]

[tex]\text{B}_2\:=\:\frac{1}{12}\text{B}_2\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&4&-7\\0&1&-\frac{19}{12}\\0&8&1\end{array}||\begin{array}{ccc}-29\\-\frac{88}{12}\\-4\end{array}][/tex]

[tex]^{\text{B}_1\:=\:\text{B}_1\:-\:4\text{B}_2}_{\text{B}_3\:=\:\text{B}_3\:-8\:\text{B}_2}\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{2}{3}\\0&1&-\frac{19}{12}\\0&0&\frac{41}{3}\end{array}||\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}\\-\frac{88}{12}\\\frac{164}{3}\end{array}][/tex]

[tex]\text{B}_3\:=\:\frac{3}{41}\text{B}_3\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{2}{3}\\0&1&-\frac{19}{12}\\0&0&1\end{array}||\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}\\-\frac{88}{12}\\4\end{array}][/tex]

[tex]^{\text{B}_1\:=\:\text{B}_1\:+\:\frac{2}{3}\text{B}_3}_{\text{B}_2\:=\:\text{B}_2\:+\:\frac{19}{12}\text{B}_3}\:\:\to\:[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}||\begin{array}{ccc}\bold{3}\\\bold{-1}\\\bold{4}\end{array}][/tex]

Jadi, x = 3 ; y = –1 ; z = 4

39. Selesaikan SPL berikut dengan metode Eliminasi Gauss – Jordan Mohon bantuannya

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

40. tentukan Gauss JordanX1 + X2 + 2x3 = 8-x1 - 2x2 + 3x3 = 13x1 - 7x2 + 4x3 = 10​

x₁ + x₂ + 2x₃ = 8

–x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 1

3x₁ - 7x₂ + 4x₃ = 10

Penyajian dalam bentuk matriks ter-augmentasi :

[tex][\begin{array}{ccc}1&1&2\\-1&-2&3\\3&-7&4\end{array}||\begin{array}{ccc}8\\1\\10\end{array}][/tex]

Operasi Baris Elementer :

[tex]\begin{array}{ccc}\:\\b_2+b_1\to\\b_3-3b_1\to\end{array}[\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&-1&5\\0&-10&-2\end{array}||\begin{array}{ccc}8\\9\\-14\end{array}][/tex]

[tex]\begin{array}{ccc}\:\\b_2\times (-1)\to\\\:\end{array}[\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&1&-5\\0&-10&-2\end{array}||\begin{array}{ccc}8\\-9\\-14\end{array}][/tex]

[tex]\begin{array}{ccc}b_1-b_2\to\\\:\\b_3+10b_2\to\end{array}[\begin{array}{ccc}1&0&7\\0&1&-5\\0&0&-52\end{array}||\begin{array}{ccc}17\\-9\\-104\end{array}][/tex]

[tex]\begin{array}{ccc}\:\\\:\\b_3\div (-52)\to\end{array}[\begin{array}{ccc}1&0&7\\0&1&-5\\0&0&1\end{array}||\begin{array}{ccc}17\\-9\\2\end{array}][/tex]

[tex]\begin{array}{ccc}b_1-7b_3\to\\b_2+5b_3\to\\\:\end{array}[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}||\begin{array}{ccc}3\\1\\2\end{array}][/tex]

[tex]\to\boxed{\boxed{x_1=3}}\boxed{\boxed{x_2=1}}\boxed{\boxed{x_3=2}}[/tex]